Información del Plan Docente

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

La asignatura comenzará con la definición de los espacios vectoriales complejos, como una generalización de los espacios vectoriales reales. Pasaremos entonces a considerar los correspondientes operadores lineales y sus correspondientes matrices. Sobre ellas, estudiaremos los mecanismos de diagonalización y formas normales. Definiremos también funciones de operadores particularmente interesantes, como pueden ser la función exponencial, el logaritmo o la raíz cuadrada. Este bloque ocupará los meses de febrero y marzo.

A lo largo del mes de abril y mayo, pasaremos a la definición de productos escalares sobre los espacios vectoriales y estudiaremos las implicaciones a nivel de operadores. Definiremos también, al menos en el caso de dimensión finita, el concepto de espacio de Hilbert. Se estudiarán también los distintos tipos de cónicas en el plano.

Finalmente, en el mes de mayo estudiaremos las operadores lineales que preservan los productos escalares de mayor relevancia en Física, como el producto escalar euclídeo, el hermítico y el de Minkowski.

Podemos resumir la secuencia anterior en la frase ya empleada anteriormente: nuestro objetivo a lo largo del curso será estudiar un conjunto de herramientas que permiten caracterizar la descripción de estados y operadores de sistemas físicos y las transformaciones que representan los cambios admisibles de sistemas de referencia.

Junto con la asignaturas de Álgebra I, Análisis Matemático y Cálculo diferencial (en el primer año) y las asignaturas de Cálculo integral y geometría, Ecuaciones diferenciales, Métodos Matemáticos de la Física y Física computacional en los posteriores, se pretende dotar al alumnos de las herramientas matemáticas necesarias para la formulación de modelos dinámicos y la obtención desoluciones de los mismos. Dichas herramientas son, además, de enorme utilidad para la descripción de sistemas también no pertenecientes al ámbito de la Física, como puede ser la Economía, la Biología, la Geología, etc.

O1. Caracterizar las aplicaciones lineales como matrices entendiendo el papel de la elección de la base. Concepto de autovalor y autovector y cálculo de los mismos.

O2. Entender y dominar el concepto de formas canónicas de operadores y de funciones de operadores.

O3. Productos escalares y ortogonalidad. Bases ortonormales y ortonormalización.

O4. Entender qué es un espacio de Hilbert y las principales características de los operadores definidos sobre ellos.

O5. Familiarizarse con las transformaciones definidas sobre espacios vectoriales que preservan productos escalares. Estudio de los ejemplos más relevantes.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La modelización de sistemas físicos recurre con mucha frecuencia a la descripción de los mismos en términos de espacios vectoriales, estando las magnitudes físicas representadas por funciones o operadores lineales sobre ellos. Es pues fundamental el saber determinar los elementos característicos del sistema, como por ejemplo el conjunto de posibles autovalores de un operador cuántico, y las propiedades que deben de verificar los sistemas de referencia usados en su descripción.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber cursado la asignatura de Álgebra I 

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Calcular valores y vectores propios de matrices y operadores tanto analítica como numéricamente

Determinar la forma canónica de un operador y utilizarla para obtener funciones de éste

Construir bases ortonormales y determinar las componentes de un vector en dichas bases

Conocer las propiedades de los valores y vectores propios de operadores relevantes en física (proyectores, autoadjuntos, hermíticos, simétricos, ortogonales,...)

Expresar los grupos de invariancia de los distintos productos escalares (complejo, real euclídeo, Minkowski) tanto en su versión finita como infinitesimal

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Es capaz de realizar operaciones sencillas con matrices utilizando herramientas numéricas

Puede determinar el polinomio característico y los subespacios propios generalizados de un operador

Sabe obtener la función exponencial de un operador. Aplicarla a la solución de problemas del oscilador

Es capaz de ortonormalizar una base dada mediante el procedimiento de Gram‐Schmidt

Puede relacionar, mediante la función exponencial, las transformaciones unitarias y ortonormales con los operadores hermíticos y simétricos, respectivamente

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

La asignatura de Álgebra II es de fundamental importancia para la comprensión de las herramientas empleadas en la solución de los sistemas dinámicos clásicos, y absolutamente necesaria para la comprensión de los conceptos básicos de la mecánica cuántica, que se modelizarán siempre usando los conceptos aquí presentados o sus generalizaciones a dimensión infinita.

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

Evaluación continua del aprendizaje del alumno mediante la resolución de problemas, cuestiones y otras actividades propuestas por el profesor de la asignatura. Se incluirán dos exámenes a lo largo del curso, uno al final del tercer capítulo y otro al final del quinto. Además, se propondrán dos trabajos para ser desarrollados por los estudiantes. (15% de la nota final).

Evaluación del trabajo en las prácticas en aula de informática (15% de la nota final). Se realizará a través de un examen y la evaluación del trabajo durante las sesiones de prácticas.

Realización de al menos una prueba teórico-práctica a lo largo del curso ( 70% de la nota final).

Será necesario alcanzar una nota de 4 sobre 10 tanto en las prácticas como en la prueba teórico- práctica para poder superar la asignatura

Superación de la asignatura mediante una prueba global única

En el caso de que el estudiante opte por una prueba global única,  las actividades de evaluación serán:

- Evaluación del trabajo en las prácticas en aula de informática (15% de la nota final). Se realizará a través de un examen.

- Realización de al menos una prueba teórico-práctica a lo largo del curso (85% de la nota final).

Será necesario alcanzar una nota de 4 sobre 10 tanto en el examen de prácticas como en la prueba teórico-práctica para poder superar la asignatura.

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Las metodologías de enseñanza-aprendizaje que se proponen para conseguir los objetivos planteados y adquirir las competencias son las siguientes:

Las clases magistrales  deben proporcionar al alumno la estructuración de contenidos que luego deben cimentarse con las clases de problemas y prácticas. Los trabajos pueden proporcionar una mayor profundidad en temas específicos que puedan resultar de especial interés sólo a algunos alumnos.  Los ejercicios deben servir también como mecanismo de autoevaluación para el alumno y es por eso que la participación en las clases de problemas se convierte en una  herramienta muy importante.

Existen apuntes redactados por el profesor y disponibles en la página web en la plataforma moodle

4.2. Actividades de aprendizaje

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

La docencia se estructura en 4 horas semanales, en las que se incluyen las sesiones teóricas y las de problemas. Así mismo el curso incluye 4 sesiones de prácticas de ordenador de 1.5 horas cada una y una sesión introductoria de 2 horas.

4.3. Programa

Capítulo 1. Espacios vectoriales complejos

Capítulo 2: Aplicaciones lineales y endormorfismos

Capítulo 3: Propiedades de endormorfismos

Capítulo 4: Formas canónicas de endomorfismos

Capítulo 5: Funciones de operadores

Capítulo 6: Espacios vectoriales con producto escalar

Capítulo 7: Endomorfismos sobre espacios vectoriales con producto escalar

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Las clases magistrales y las sesiones de problemas se realizarán en el horario establecido por la Facultad a lo largo del segundo semestre del año académico. Las sesiones de prácticas se desarrollarán a lo largo de los meses de marzo, abril y mayo. La entrega de trabajos y el resto de las pruebas de evaluación se acordarán con los alumnos a lo largo del semestre.

Sesiones de evaluación: 2 exámenes de evaluación continua (uno al final de los 3 primeros capítulos y otro al final del quinto), dos trabajos a presentar durante el curso y la prueba teórico-práctica al final del semestre